难解的填空题

　　1、如图，已知AB=AC，BE=DC，BD=CF，则∠A和∠α的关系是_________

　　2、如图，D、E分别为AB、AC上一点，DG平分∠BDF，EG平分∠CEF，已知∠A=40°，∠G=30°，则∠DFE=________

　　

 

　　常规方法

　　这两道题假如用常规方法来解是比较复杂的，尤其是第2题。

　　1、解题思路，分别把∠A、∠α用同样的角来表示，进而得到∠A与∠α的关系。

　　∠A=180°-∠B-∠C=180°-2∠B，

　　∠α=180°-∠BDE-∠CDF=180°-∠BDE-∠BED=∠B

　　∴∠A=180°-2∠α

　　2、解题思路：借助四边形内角和、平角、角平分线求解。在四边形AEGD中，∠ADG+∠AEG=360°-∠A-∠G=290°，∠BDG+∠CEG=360°-∠ADG-∠AEG=70°，∠BDF+∠CEF=2（∠BDG+∠CEG）=140°，∠ADF+∠AEF=360°-（∠BDF+∠CEF）=220°，∠DFE=360°-∠A-∠ADF-∠AEF=100°

　　借助四边形外角的性质

　　四边形外角的性质：四边形的两个外角之和等于与它们不相邻的两个内角的和。

 

　　无论是相邻还是不相邻的外角，结论都成立，用四边形内角和与平角能够很容易证明。

　　1、由四边形外角的性质，可得 ∠BED+∠CFD=∠A+∠α，

　　由全等三角形及平角定义，可得 ∠BED+∠CFD+∠α=180°，

　　∴∠A+∠α=180°-∠α，∠A=180°-2∠α（也能够写成其它等价形式）

　　2、由四边形AEGD的外角性质，可得 ∠BDG+∠CEG=∠A+∠G=70°

　　由角平分线定义，可得 ∠BDF+∠CEF=140°

　　由四边形AEFD的外角性质，可得 ∠DFE=∠BDF+∠CEF-∠A=140°-40°=100°

　　也可借助飞镖模型，∠DFE=∠FDG+∠FEG+∠G=70°+30°=100°

　　本题结论：∠F=∠A+2∠G，也能够写成 ∠G=1/2∠F-1/2∠A，三角形外角平分线的夹角可看作后者的特殊状况